Sangaku

Een sangaku is een zuiver visueel uitgebeelde wiskundige stelling.

Probeer de stelling te vinden.

De som van de oppervlakten van de gekleurde vierkanten is gelijk aan de som van de oppervlakten van de gekleurde driehoeken.

We tekenen uit A de loodlijn op BC en tekenen verder nog 2 congruente driehoeken.
De driehoeken ABD, BAE en GBF zijn dus congruent.
Oppervlakte vierkant 1 is (a+b).

In driehoek ABD kunnen we de lengte van de schuine zijde [AB] berekenen met de stelling van Pythagoras maar [AB] is ook de zijde van vierkant 2 dus weten we dat de oppervlakte vierkant 2 gelijk is aan a+c.

De totale oppervlakte van de vierkanten 1 en 2 is dus:
(a+b)+a+c=a+2ab+b+a+c=2a+b+c+2ab

In driehoek ACD kunnen we de lengte van de schuine zijde [AC] berekenen met de stelling van Pythagoras maar [AC is ook de zijde van vierkant 3 dus weten we dat de oppervlakte vierkant 3 gelijk is aan b+c.

In driehoek HFG kunnen we de lengte van de schuine zijde [HG] berekenen met de stelling van Pythagoras.De maatgetallen van de rechthoekzijden zijn b+a+a=b+2a en c.
[HG] is ook de zijde van vierkant 4 dus weten we dat de oppervlakte vierkant 4 gelijk is aan
(b+2a)+c=b+4ab+4a+c

De totale oppervlakte van de vierkanten 3 en 4 is dus:
b+c+b+4ab+4a+c=2b+2c+4ab+4a
De som van de gekleurde driehoeken is daar de helft van dus b+c+2ab+2a