Sangaku

Een sangaku is een zuiver visueel uitgebeelde wiskundige stelling.

Probeer de stelling te vinden.
We vonden deze sangaku eerst op de site van Archimedes (en vroegen toestemming)
http://www.archimedes-lab.org/pzm48b.html
Nadien vonden we dezelfde sangaku op
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/FiveCirclesInSquare.shtml
Deze laatste site heeft een rijkdom aan sangaku en legt ze ook uit met heel wat prachtige applets.
We vonden deze sangaku (en uitleg) ook in het Nederlands bij Pythagoras:
http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_printversie.php?deze_art_online_id=203

De 5 cirkels hebben dezelfde oppervlakte.

ΔABC is rechthoekig in A
|BC|=a; |AC|=b en |AB|=c
|CD|=b-r en |FB|=c-r
ΔCOD en ΔCOE zijn congruent => |CD|=|CE|=b-r
ΔBOF en ΔBOE zijn congruent => |BF|=|BE|=c-r
a = b-r+c-r = b+c-2r => r = (b + c - a) : 2  (3)

In driehoek ABC kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen.
a=b+c => (b+c-2r)=b+c => b+c+4r+2bc-4br-4cr=b+c
=>4r+2bc-4br-4cr=0 => 2r+bc-2br-2cr=0

Als je de rechthoekszijden geeft, kan je de straal van de ingeschreven cirkel vragen

 

 

Het gegeven vierkant bestaat uit 4 congruente rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden b en c en b>c en schuine zijde a en daarnaast een vierkant.
Hierboven hebben we de volgende betrekking gevonden:
2r+bc-2br-2cr=0 (1)
Het vierkant EFGH heeft als zijde |EF| = |DF| - |DE| = b-c = 2r (2)
(2) in (1) => (b-c) : 2 + bc - b(b-c) - c(b-c) = 0
       b :2 - bc + c :2 + bc - b + bc -cb +c = 0
                                              -b :2 + 3c : 2  = 0
                                                         -b + 3c = 0  
                                                                  3c = b
Hieruit kunnen we de verhouding van de rechthoekszijden vinden en bepalen dat de scherpe hoeken 30 en 60 zijn.

Het kan veel eenvoudiger: 2r = b + c - a   (3)
                                        en 2r = b - c  (2)
Uit (2) en (3) => b + c - a = b - c
                                      2c = a
Hieruit kunnen we de verhouding van een rechthoekszijde tot de schuine zijde vinden en bepalen dat de scherpe hoeken 30 en 60 zijn.

 

Oppervlakte ΔABC = Oppervlakte ΔOAB + Oppervlakte ΔOBC+ Oppervlakte ΔOAC
bc : 2 = cr : 2 + ar : 2 + br : 2
bc = r(a + b + c)  (4)

 

We berekenen de straal(r) in functie van de zijde(a) van het vierkant.
b = a cos30 en c = a sin30
Uit (4) => r = bc : (a + b + c)
                 r = acos30sin30: (a + a cos30 + a sin30)
                 r = acos30sin30 : (1 + cos30 + sin30)