Sangaku

Een sangaku is een zuiver visueel uitgebeelde wiskundige stelling.

Probeer de stelling te vinden.
We vonden deze sangaku en uitwerking met een prachtig applet op
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ThreeIncirclesInRightTriangle.shtml

ΔABC is rechthoekig in C
|BC|=a; |AC|=b en |AB|=c
|AD|=b-r en |FB|=a-r
ΔAOD en ΔAOE zijn congruent => |AD|=|AE|=b-r
ΔBOF en ΔBOE zijn congruent => |BF|=|BE|=a-r
c = b-r+a-r = b+a-2r => r = (a + b - c) : 2 

 

 

 

ΔABC ~ΔACD=> a : h = b : b' = c : b => h = ab : c en b' = b : c
ΔABC ~ΔCBD=> a : a' = b : h = c : a => h = ab : c en a' = a : c
Hierboven staat dat de straal van de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de helft van het verschil van de som van de rechthoekszijden en de schuine zijde.
Deze stelling passen we driemaal toe:
r"=(a + b - c) : 2 = (c:c)(a + b - c) : 2
r'=(ab:c + a:c -a) : 2 = (a:c)(b + a -c) : 2
r =(ab:c + b:c -b) : 2 = (b:c)(a + b -c) : 2
r+r'+r" =(c:c)(a + b - c) : 2 + (a:c)(b + a -c) : 2 + (b:c)(a + b -c) : 2
           = (a + b - c)(c+a+b) : 2c
           = ((a+b) - c) : 2c = (a + b + 2ab - c) : 2c = (c + 2ab - c) : 2c
           = 2ab : 2c = ab : c = h